\input rwpdok.tex \kap{2}{Theorie} \ukap{Zwei-Niveau-Systeme} \def\Ha{{H'}} % Hamilton-Operatoren \def\Hb{{H}} % \def\Aa{{B}} % Transformations-Operator \def\Sa{{\cal S}} %\hbox{S\llap{\raise0.7pt\hbox{S}}}} \def\Sb{{\bf S}} % Spin-Operator \def\Ab{{O}} % beliebiger Operator Der Ausgangspunkt des Tunnelmodelles (\Rref{And72}, \Rref{Phi72}) ist, wie schon erw„hnt, die Annahme, daá die Tieftemperatureigenschaften von Gl„sern von atomaren Tunnelsy\-stemen bestimmt werden. Zur mathematischen Beschreibung dieser Tunnelsysteme werden meist Doppelmuldenpotentiale benutzt. Die Tunnelsysteme im Mischkristall {KCl:Li} haben als Grundlage ein Vielfachmuldenpotenial, lassen sich aber n„herungsweise ebenfalls mit Doppelmuldenpotentialen beschreiben. \uukap{Doppelmuldenpotential} Zur Beschreibung eines Doppelmuldenpotentials geht man von zwei einzelnen Oszillatorpotentialen aus, die sich teilweise berlappen. In Bild~\Aref{domupo} ist diese Situation dargestellt. Es ist das Potential in Abh„ngigkeit von einer Konfigurationskoordinaten zu sehen. Diese Konfigurationskoordinate kann z.B.~ein Bindungswinkel oder ein Abstand sein. In {KCl:Li} ist $d$ ein r„umlicher Abstand, z.B.~bei der Beschreibung einer Tunnelbewegung entlang einer Wrfelkante (siehe Bild~\Aref{kclgiplt}). Die N„herung des Potentials durch diese beiden Einzelpotentiale ist fr die Eigenschaften bei tiefen Temperaturen gut, solange die Grundzustandsenergie~$\hbar\Omega/2$ der einzelnen Mulden klein gegenber der Potentialbarriere~$V$ ist \Rref{Phi81}. \midinsert \bl{7.5}{8}{domupo}{ Darstellung der einzelnen Parameter eines Doppelmuldenpotentials. Die ungest”rten Wellenfunktionen $\Psi_{\rm l}$ und $\Psi_{\rm r}$ der Einzelmulden sind bestimmt durch ihre Grundzustandsenergie~$\hbar\Omega/2$. Die Ener\-gie\-auf\-spal\-tung ist gegeben durch die Asymmetrieenergie~$\Delta$, die Masse des tunnelnden Teilchens~$m$, die H”he der Potentialbarriere~$V$ und den Abstand~$d$ in der Konfigurationskoordinaten. \medskip} \endinsert Fr die Rechnung geht man zun„chst von den gel”sten Einzelproblemen der beiden Mulden aus. Die Wahrscheinlichkeit dafr, daá das Teilchen durch die Potentialbarriere tunnelt, h„ngt von deren Breite und H”he ab. Durch den šberlapp der beiden Wellenfunktionen entsteht eine Aufspaltung der Energieniveaus um \Rref{Sus64} \Gle{}{\Delta_0 = \hbar\Omega\; {\rm e}^{-\lambda} \quad , \qquad \hbox{mit}\quad \lambda = {d\over 2\hbar}\sqrt{2mV} .} \ke Der dazugeh”rige Hamiltonoperator ist dann gegeben durch \Gle{}{{\Ha}_0 = { 1 \over 2 } \pmatrix{ \Delta & -\Delta_0 \cr -\Delta_0 & -\Delta \cr } } \ke wobei das Diagonalelement~$\Delta$ die Asymmetrieenergie der beiden Einzelmulden beschreibt. Die gew„hlte Darstellung zeigt den Hamiltonoperator in der Basis der Eigenvektoren $\Psi_{\rm l}$ und $\Psi_{\rm r}$. Die Eigenzust„nde dieses Systemes sind aber nicht die Wellenfunktionen der einzelnen ungest”rten Potentiale. Um die Basis der Energieeigenzust„nde zu erhalten, muá der Hamiltonoperator mit Hilfe einer Transformationsmatrix~$\Aa$ diagonalisiert werden. Man erh„lt: \Gle{}{ {\Hb}_0 = {\Aa}^{-1}\,{\Ha}\,{\Aa} = {1\over 2} \pmatrix{ E & 0 \cr 0 & -E \cr } } \ke mit den Energieeigenwerten~$\pm E/2$, wobei gilt : \Gle{}{ E=\sqrt{\Delta_0^2+\Delta^2_{\AH{3pt}}} } Der Abstand der beiden entstandenen Energieniveaus ist $E$. Der šbergang vom Grundzustand des einzelnen Oszillatorpotentials zum ersten Grundzustand ben”tigt eine Energie von $\hbar\Omega$. Solange die Tunnelaufspaltung klein gegenber der Anregungsenergie zum n„chsten Anregungszustand des Oszillators ist, also $\Delta_0\!\ll\!\hbar\Omega$ gilt, beschreibt dieses Modell ein Zwei-Niveau-System. Die Energieaufspaltung~$E$ ist dabei nicht nur durch die Tunnelaufspaltung~$\Delta_0$ gegeben, sondern auch durch die Asymmetrieenergie~$\Delta$. \uukap{Kopplung an das elektrische Feld} Bei den hier vorzustellenden Messungen wird mit Hilfe eines elektrischen Feldes an das permanente Dipolmoment der Tunnelsysteme angekoppelt. \dots Fr nicht zu groáe St”rungen kann fr die Žnderung der Asymmetrieenergie ein linearer Ansatz gemacht werden: \Gle{DPF}{\AH{6mm}\delta\Delta = 2 \vek p \cdot \vek F(t)} \ke mit der Feldst„rke~$\vek F(t)$ und dem permanenten Dipolmoment~$\vek p$. Der Hamiltonoperator in der $\Psi_{\rm l}$-$\Psi_{\rm r}^{\AH{3pt}}$-Basis wird dann zu \Gle{}{\Ha = \Ha_0 + \Ha_1,\quad \hbox{mit}\quad \Ha_1 = \pmatrix{ 1 & 0 \cr 0 & -1 \cr} \vek p \cdot \vek F(t)} \ke um in die Basis der Eigenfunktionen des Hamiltonoperators zu wechseln, muá der Transformationsoperator~$\Aa$ von oben angewandt werden, es ergibt sich \Gle{HamOp}{\Hb = {1\over 2} \pmatrix{ E & 0 \cr 0 & -E \cr} + {1\over E} \pmatrix{ \Delta & -\Delta_0 \cr -\Delta_0 & -\Delta \cr} \vek p \cdot \vek F(t) } Mit diesem Hamiltonoperator ist es jetzt m”glich, die zeitliche Entwicklung des Tunnelsystemes zu berechnen. \uukap{Spin-1/2-Analogie und Blochgleichungen} Eine Betrachtung der Tunnelsysteme als Zwei-Niveau-Systeme, wie sie oben gemacht wird, erm”glicht eine mathematische Behandlung analog zu Spin-$1/2$-Systemen. Solche Spin-$1/2$-Systeme sind z.B.~Elektronen in einem Magnetfeld. Nach \Rref{Fey57} l„át sich allgemein ein System, das nur zwei Energiezust„nde besitzt, mit dieser Mathematik beschreiben. Die zeitliche Entwicklung wird durch die Erwartungswerte des Spin-Operators \Gle{}{\Sb \;=\; \pmatrix{\Sa_x\cr\Sa_y\cr\Sa_z\cr} \; = \;{1\over 2} \pmatrix{\sigma_x\cr% \sigma_y\cr% \sigma_z\cr} } \ke beschrieben, wobei die $\sigma_i$ die bekannten Paulimatrizen \Gle{}{\sigma_x = \pmatrix{0&1\cr 1&0\cr},\qquad \sigma_y = \pmatrix{0&-{\rm i}\cr {\rm i}&0\cr},\qquad \sigma_z = \pmatrix{1&0\cr 0&-1\cr} } \ke darstellen. Bei der šbertragung der Rechnungen, bzw.~der Ergebnisse auf die Tunnelsysteme m”chte ich zun„chst auf die Bedeutung des Erwartungswertes der einzelnen Spinkomponenten eingehen. So steht $\EW{\Sa_x}$ fr die induzierte elektrische Polarisation der Tunnelsysteme. Die $z$-Komponente beschreibt in der blicherweise gew„hlten Darstellung die Besetzungszahldifferenz der Tunnelsysteme. Eine weniger anschauliche Gr”áe ist der Erwartungswert von $\Sa_y$. Er beschreibt keine meábare Gr”áe und ist mit einer quantenmechanischen Phase gleichzusetzen. \smallskip Die quantenmechanische Beschreibung eines Ensembles von einzelnen Systemen erfolgt blicherweise mit Hilfe der Dichtematrix~$\varrho$ (siehe z.B.~\Rref{Yar88}). Fr die Wellenfunktion~$\Psi$ in der Darstellung der Energieeigenfunktionen \Gle{WellFun}{\Psi \; = \; c_1(t) \Psi_+ + c_2(t)\Psi_- } \goodbreak\ke ergibt sich die Dichtematrix fr $N$ Systeme \Rref{Gol81} \def\Q{\AH{3pt}}% \def\XX{\hbox{\vrule width 0pt height 10pt depth 7pt}}% \Gle{DiMa}{\varrho =% \pmatrix{\XX\varrho_{11} & \varrho_{12} \cr% \XX\varrho_{21} & \varrho_{22} \cr}% = \sum_{i=1}^N P_i \pmatrix{\XX c_{1i}^{\Q}c_{1i}^* & c_{1i}^{\Q}c_{2i}^* \cr \XX c_{2i}^{\Q}c_{1i}^* & c_{2i}^{\Q}c_{2i}^* \cr}} \ke mit dem Anteil $P_i$ der Systeme mit der Wellenfunktion $\Psi_i$. Allgemein gilt fr den Erwartungswert einer Observablen $\Ab$: \Gle{Erww}{\EW{\Ab}\quad = \quad\hbox{Spur}\,(\varrho \Ab)} Damit ergeben sich fr die Erwartungwerte der einzelnen ,Pseudo`-Spinkomponenten die Ausdrcke \GlNummer{PSpin}% $$\eqalignno{ \EW{\Sa_x} \quad =\quad & c_1^{\Q} c_2^* + c_2^{\Q} c_1^* & {\Fabc{PSpin}a}\cr \AH{16pt} \EW{\Sa_y} \quad =\quad & {\rm i}(c_1^{\Q} c_2^* - c_2^{\Q} c_1^*) & {\Fabc{PSpin}b}\cr \AH{16pt} \EW{\Sa_z} \quad =\quad & \vert c_1 \vert^2 + \vert c_2 \vert^2 & {\Fabc{PSpin}c}\cr }$$ Die oben erw„hnte Dichtematrix kann jetzt benutzt werden, um die zeitliche Entwicklung dieser Erwartungswerte zu berechnen. Mit Hilfe der Dichtematrix~$\varrho$ kann die Bewegungsgleichung so geschrieben werden: \Gle{}{\dot{\varrho} \,=\, {{\rm i}\over\hbar}\left[{\varrho,\Hb}\right]\,=\, {{\rm i}\over\hbar}\left({\varrho\Hb -\Hb\varrho}\right)} Durch Einsetzen des Hamilton-Operators aus Gleichung~\Fref{HamOp} erh„lt man vier lineare Differentialgleichungen fr die einzelnen Elemente der Dichtematrix: \GlNummer{VierDif} \def\DT#1{{d\varrho_{#1}\over dt}\,=\,& {{\rm i}\over 2\hbar}} \def\klam{\biggl} $$\eqalignno{% \DT{11} A_0(\varrho_{21}-\varrho_{12}) & {\Fabc{VierDif}a}\cr %------------- \AH{0.8cm}\DT{12}\klam\{{ -A_0 (\varrho_{11}-\varrho_{22}) - 2(E+A)\varrho_{12} }\klam\} & {\Fabc{VierDif}b}\cr %------------- \AH{0.8cm}\DT{21}\klam\{{ A_0 (\varrho_{11}-\varrho_{22}) + 2(E+A)\varrho_{21} }\klam\} & {\Fabc{VierDif}c}\cr %------------- \AH{0.8cm}\DT{22} A_0(\varrho_{12}-\varrho_{21}) & {\Fabc{VierDif}d}\cr }$$ \ke mit den Abkrzungen \Gle{}{% A=2\klam({\Delta \over E}\klam)\vek p\cdot\vek F(t)\quad\hbox{und}\quad A_0=2\klam({\Delta_0\over E}\klam)\vek p\cdot\vek F(t) } Mit Hilfe der Beziehung~\Fref{Erww} l„át sich daraus die zeitliche Entwicklung der ,Pseudo`-Spinkomponenten berechnen. In dieser Darstellung sind noch keine Wechselwirkungen der Systeme untereinander und mit dem Gitter bercksichtigt worden. Man erh„lt also nur den rein koh„renten Teil der Zeitabh„ngigkeit. Zur ph„nomenologischen Beschreibung der inkoh„renten šberlagerung wurden schon 1946 von Bloch fr Spin-$1/2$-Systeme die Relaxationszeiten $\tau_1$ und $\tau_2$ eingefhrt \Rref{Blo46}. Auf das hier vorliegende Problem bertragen erh„lt man schlieálich \GlNummer{Blo} \def\DT#1{{d\over dt} \EW{\Sa_{#1}}\;=\;&} $$\eqalignno{% \DT{x} \,-{\EW{\Sa_x}\over\tau_2}\,-\, {E+A\over\hbar}\EW{\Sa_y} & {\Fabc{Blo}a}\cr \AH{0.8cm}\DT{y} \,-{\EW{\Sa_y}\over\tau_2}\,+\,{E+A\over\hbar}\EW{\Sa_x} +{A_0\over\hbar}\EW{\Sa_z} & {\Fabc{Blo}b}\cr \AH{0.8cm}\DT{z} \,-{\EW{\Sa_z}-\Sa_z^0(\vek F)\over\tau_1} \,-\,{A_0\over\hbar}\EW{\Sa_y} & {\Fabc{Blo}c}\cr }$$ Unter $\tau_1$ versteht man die Zeit, nach der ein System vom angeregeten Zustand wieder in den Grundzustand zurckf„llt, z.B.~durch eine resonante Wechselwirkung mit einem thermischen Phonon. In Analogie zu den Spin-$1/2$-Systemen im Magnetfeld wird $\tau_1$ auch als longitudinale Relaxationszeit bezeichnet. $\Sa_z^0(\vek F)$ beschreibt in \Fref{Blo} die Besetzungszahldifferenz im thermischen Gleichgewicht bei anliegendem elektrischen St”rfeld. Aufgrund der Zeitabh„ngigkeit des angelegten elektrischen Feldes ist auch $\Sa_z^0$ abh„ngig von der Zeit: \Gle{}{\Sa_z^0(\vek F)\;=\;-{1\over2}\tanh \left({E(t)\over2\k T}\right)\;=\; -{1\over2}\tanh\left({\sqrt{\Delta_0^2 +\left(\Delta+2\left({\Delta\over E}\right) \vek p\cdot\vek F(t)\right)^2}\over2\k T}\right)} Die transversale Relaxationszeit~$\tau_2$ beschreibt, wie schnell die Koh„renz der quantenmechanischen Phase der Tunnelsysteme verloren geht. Wenn zu einem bestimmten Zeitpunkt die Tunnelsysteme eine korrelierte feste Phasenbeziehung haben, k”nnen sie diese im weiteren Verlauf durch verschiedene Prozesse verlieren. Zum Beispiel verliert ein System seine Phasenbeziehung zu den anderen Systemen, wenn es St”áe mit Phononen erleidet und eine longitudinale Relaxation ausfhrt. Es gilt deshalb $\tau_2\!\le\!\tau_1$. Andere m”gliche Prozesse sind auch Wechselwirkungen der Tunnelsysteme untereinander (z.B.~spektrale Diffusion). $\tau_2$~wird auch als Phasenkoh„renzzeit bezeichnet. \ukap{Station„rer Fall} Die Blochgleichungen k”nnen leider nicht allgemein gel”st werden. Es lassen sich aber unter bestimmten Voraussetzungen gute N„herungen angeben. Nachfolgend soll der Fall behandelt werden, daá die Zeit, in der die St”rung anliegt, groá ist gegenber den Relaxationszeiten $\tau_1$ und $\tau_2$. Auf diese Weise k”nnen die Einflsse von $\tau_1$ und $\tau_2$ auf das zeitliche Verhalten von $\Sb$ vernachl„ssigt werden. Die Blochgleichungen werden blicherweise fr zirkular polarisierte Felder angegeben, weil dies der mathematisch einfachere Fall ist. Im Experiment werden aber normalerweise nur linear polarisierte Felder an die Proben angelegt. Ein linear polarisiertes Feld l„át sich aber als šberlagerung von zwei zirkular polarisierten Feldern dargestellen. Als Ansatz zur L”sung der Blochgleichungen~\Fref{Blo}{a-c} wird deshalb fr $\vek F(t)$ der Ansatz \Gle{}{\vek F(t)\;=\;2\vek F_0 \cos\omega t \;=\; \vek F_0\left({{\rm e}^{{\rm i}\omega t}+{\rm e}^{-{\rm i}\omega t}}\right)} \ke gemacht. Dies sind also zwei Felder mit den Frequenzen $\omega$ und $-\omega$. In erster N„herung kann die Feldkomponente mit der Frequenz~$-\omega$ vernachl„ssigt werden. D.h.~daá sich die blichen Darstellung der L”sungen der Blochgleichungen auch fr Probleme mit linearpolarisierten Feldern bertragen l„át. Man erh„lt \Rref{Hun76} \def\omr{\omega_{\rm r}} \GlNummer{BloLo} $$\eqalignno{ \EW{\Sa_x}\;=\;& - A_0 \,{\Sa_z^0(0)\over\hbar}\, {2\omr \over \omr^2-(\omega+{\rm i}\tau_2^{-1})^2} &{\Fabc{BloLo}a}\cr \AH{0.8cm} \EW{\Sa_z}\;=\;& \;2A\, {\partial\Sa_z^0(0)\over\partial E} \,{1 \over 1-{\rm i}\omega\tau_1} &{\Fabc{BloLo}b}\cr}$$ \ke $\Sa_z^0(0)$ ist dabei die Besetzungszahldifferenz im thermischen Gleichgewicht ohne das Feld~$\vek F$. Die Resonanzfrequenz~$\omr$ der Systeme ist gegeben durch $\omr=E/\hbar$. Fr die Zwei-Niveau-Systeme gilt $\Sa_z^0(0)={1\over2}\tanh(E/2\k T)$. \nonumber \uukap{Meágr”áen} \def\eps{\epsilon} Fr die in dieser Arbeit durchgefhrten Experimente ist die Dielektrizit„tskonstante~$\varepsilon$ die interessierende Gr”áe. Die komplexe Zahl~$\varepsilon$ l„át sich in Realteil ($\varepsilon'$) und Imagin„rteil ($\varepsilon''$) auftrennen. In der vorliegenden Arbeit ist der Realteil von $\varepsilon$ eine h„ufig gebrauchte Gr”áe. Um die Schreibweise zu vereinfachen wird deshalb fr $\varepsilon'$ das Zeichen $\eps$ gesetzt ($\eps :=\varepsilon'$, man beachte die unterschiedliche Form). Es gilt also: \def\tand{\tan(\delta)} \Gle{}{\matrix{ % \varepsilon & = & \varepsilon' & + & {\rm i}\,\varepsilon''\AHq{28pt}\cr \AH{0.7cm} & = & \eps\;\;(\,1 & + & {\rm i}\,\tand\,) \cr }} \ke Komplexe Zahlen lassen sich in einer Zahlenebene mit Hilfe eines Ortsvektors darstellen. In dieser komplexen Zahlenebene beschreibt ${\bf\delta}$ den Winkel zwischen der $x$-Achse (reele Achse) und dem Ortsvektor der komplexen Zahl~$\varepsilon$. šber die Beziehung $\varepsilon=1+\chi$ ist $\varepsilon$ mit der dielektrischen Suszeptibilit„t~$\chi$ verknpft. Es gilt fr die elektrische Polarisation~${\cal P}$ \Gle{Susz}{{\cal P}\;=\;N\EW{\vek P}\;=\;\varepsilon_0 \chi \vek F,\qquad \vek P \;=\; {1\over E}\pmatrix{\Delta&-\Delta_0\cr -\Delta_0&-\Delta\cr} \vek p } \ke Die Berechnung von $\chi$ geschieht hier mit Hilfe des Dipoloperators~$\vek P$. Dessen Erwartungswert ergibt sich zu $$\eqalignno{ \EW{\vek P}\;=\; & {\rm Spur\,}\left(\varrho\vek P\right) =\;-{\Delta_0\over E}\vek p\,(\varrho_{12}+\varrho_{21})\, +\,{\Delta\over E}\vek p\,(\varrho_{11}-\varrho_{22})& \cr \AH{0.8cm}=\;&-2{\Delta_0\over E}\vek p\EW{\Sa_x}\, +\,2{\Delta\over E}\vek p\EW{\Sa_z} & {\rm\Flab{gD}}\cr}$$ Fr $\EW{\Sa_x}$ und $\EW{\Sa_z}$ setzt man die L”sungen \Fref{BloLo} ein und erh„lt mit Hilfe von Gleichung~\Fref{Susz} fr die Suszeptibilit„t den Ausdruck \def\ASYM{\,{\klam({\Delta\over E}\klam)\!\!}^2\,}% \def\SYMME{\,{\klam({\Delta_0\over E}\klam)\!\!}^2\,}% \Gle{RelRes}{\chi=\underbrace{2N\, {(\vek p\cdot\widehat{\vek F})^2\over\varepsilon_0}\SYMME {\Sa_z^0(0)\over\hbar}\, {2\omr\over\omr^2-(\omega+{\rm i}\tau_2^{-1})^2_{\AH{3mm}}}\AHt{0.5cm} }_{\hbox{\AH{14pt}Resonanter Beitrag}}\;+\; \underbrace{\AHt{0.5cm} 4N\,{(\vek p\cdot\widehat{\vek F})^2\over\varepsilon_0}\ASYM {\partial\Sa_z^0(0)\over\partial E}\,{1\over1-{\rm i}\omega\tau_1} }_{\hbox{\AH{14pt}Relaxationsbeitrag}}} \ke wobei $\widehat{\vek F}$ den Einheitsvektor in Feldrichtung bezeichnet. Es sind zwei komplexe Anteile der Suszeptibilit„t zu erkennen. Diese Anteile sind Resonanz- und Relaxationsterme, die beide komplexwertig sind, also beide sowohl zur Dispersion als auch zur Absorption beitragen. Die durch die Messungen ermittelten Gr”áen sind der dielektrische Verlustwinkel~$\tand$ und die relative Žnderung des Realteils von $\varepsilon$, also $\delta\eps/\eps$. Die Ergebnisse fr die einzelnen Beitr„ge mssen also noch in Real- und Imagin„rteil aufgetrennt werden. Fr die Umrechnung des Ergebnisses von Gleichung~\Fref{RelRes} auf diese beiden Gr”áen wird benutzt, daá \Gle{}{\delta\eps\;=\;\delta({\rm Re}\chi) \quad \hbox{und} \quad \tand\;=\;{1\over\eps}\;{\rm Im}\,\chi} \ke Die Darstellung der einzelnen Beitr„ge fr $\tand$ und $\delta\eps/\eps$ ergibt dann fr den Relaxa\-tions\-beitrag: \def\REL{_{\rm rel}}% \def\RES{_{\rm res}}% \def\SECH{{\rm sech}^2 \left({E\over2\k T}\right)}% \def\vortermA{{N(\vek p\cdot\widehat{\vek F})^2\over\varepsilon_0\eps\k T}}% \def\vortermB{\AH{1.2cm}{N(\vek p\cdot\widehat{\vek F})^2 \over\varepsilon_0\eps\hbar}}% \GlNummer{Bloch}% %--------------------------- $$\eqalignno{ \left.{\delta\eps\over\eps}\right\vert\REL \, = \, & \vortermA \ASYM \SECH {1\over1+(\omega\tau_1)^2} & {\Fabc{Bloch}a} \cr% %--------------------------- \AH{1.2cm} \tand\,\REL \, = \, & \vortermA \ASYM \SECH {\omega\tau_1\over1+(\omega\tau_1)^2} & {\Fabc{Bloch}b} \cr }$$ %--------------------------- und den resonanten Beitrag: $$\eqalignno{ \left.{\delta\eps\over\eps}\right\vert\RES \, = \, & \vortermB \SYMME\! \tanh\!\left({-E\over2\k T}\right) \left[ {\tau_2^2(\omega-\omr)\over1+\tau_2^2(\omega-\omr)^2}- {\tau_2^2(\omega+\omr)\over1+\tau_2^2(\omega+\omr)^2} \right]\AHq{1.1cm} & {\Fabc{Bloch}c} \cr% %--------------------------- \tand\,\RES \, = \, & \vortermB \SYMME\! \tanh\!\left({E\over2\k T}\right) \left[{\tau_2\over1+\tau_2^2(\omega-\omr)^2}- {\tau_2\over1+\tau_2^2(\omega+\omr)^2} \right] \qquad & {\Fabc{Bloch}d} \cr}$$ \smallskip \ke Die verschiedenen Abh„ngigkeiten der Relaxationsprozesse und resonanten Prozesse von der Frequenz des eingestrahlten Feldes und von der Temperatur sollen im n„chsten Abschnitt n„her erl„utert werden. \nonumber \uukap{Relaxation} Durch das externe Feld wird die Asymmetrieenergie moduliert und damit auch die Energieaufspaltung~$E$. Die Žnderung der Energieaufspaltung bringt die Tunnelsysteme aus der thermischen Gleichbesetzung. Die Systeme versuchen durch Relaxationsprozesse die Besetzungszahl dieser Žnderung anzupassen. Ein mit der Frequenz $\omega$ oszillierendes Feld bewirkt eine periodische Žnderung von $E$ mit der gleichen Frequenz. Die Auswirkungen der Relaxation h„ngen von dem Verh„ltnis der Frequenz $\omega$ und der Relaxationszeit $\tau_1$ ab. Fr kleine Frequenzen (d.h.~$\omega\ll\tau^{-1}_1$) k”nnen die Systeme der Žnderung von $E$ sofort folgen. Die Phasendifferenz~$\phi$ zwischen dem elektrischen Feld (und damit $E$) und der Besetzungszahl ist dann nahezu Null. Dem Feld wird deshalb im Mittel keine Energie entzogen, die Ausbreitungsgeschwindigkeit und damit der Realteil von $\chi$ bleibt konstant. Bei hohen Frequenzen ($\omega\gg\tau_1^{-1}$) ist es den Tunnelsystemen nicht m”glich der Žnderung zu folgen. Die Phasendifferenz~$\phi$ wird $180^{\circ}$ und die Besetzungszahl „ndert sich kaum. Die Absorption ist deshalb auch hier sehr klein und der Realteil erf„hrt keine Žnderung. Wenn die Periode der St”rung und die Relaxationszeit gleichlang sind ($\omega\tau=1$), wird $\phi=90^{\circ}$. Die Absorption wird maximal und in diesem Frequenzbereich hat der Realteil die gr”áte Žnderung. Bild~\Aref{theoA} zeigt den Verlauf dieser Frequenzabh„ngigkeit. \midinsert \db{5.5}{theoA}{Frequenzabh„ngigkeit von Real- und Imagin„rteil von $\varepsilon$. Fr $\omega\tau=1$ wird die Absorption maximal, gleichzeitig ist die Žnderung des Realteils hier am gr”áten. }{theoB}{Verlauf des temperaturabh„ngigen Faktors in den Relaxationsbeitr„gen fr konstantes $\tau_1$. Der Verlauf ist in der halblogarithmischen Darstellung gezeigt. } \endinsert Die Ergebnisse der hier durchgefhrten Messungen werden blicherweise in Abh„ngigkeit von der Temperatur dargestellt. Die Tempera\-tur\-ab\-h„ngigkeit der Relaxationsbeitr„ge von Gleichung~\Fabc{Bloch}{a,b} wird durch den Faktor ${1\over\k T}{\rm sech}^2\bigl({E/2\k T}\bigr)$ beschrieben. Der Verlauf dieses Ausdruckes ist in Bild~\Aref{theoB} in einer halblogarithmischen Darstellung gezeigt. Die Meáergebnisse werden auf die gleiche Weise dargestellt. Dabei sollte beachtet werden, daá die Relaxationsrate~$\tau_1^{-1}$ ebenfalls von der Temperatur abh„ngt. Bild~\Aref{theoB} zeigt also den Verlauf der Meágr”áen fr eine konstante Relaxationsrate. \bigskip\dots \dateiende